第三节 四元术

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    四元术就是多元高次方程组解法，它实际上包括四元术表示法和四元消法两部分内容。

    四元术的表示方法是常数项居中，旁记一“太”字，天元幂系数居下，地元居左，人元居右，物元居上，其幂次由它们与“太”字的位置关系决定，不必记出天、地、人、物等字，距“太”字愈远，幂次愈高，相邻两元幂次之积记入每行列的交叉处，不相邻之元的幂次之积无相应位置，寄放在夹缝中，如图33。一个筹式相当于现今的一个方程式，二元方程组列出两个筹式，三元方程组列出三个筹式，四元方程组列出四个筹式。这是一种分离系数表示法，对列出高次方程组与消元都很方便。可惜由于平面只有上、下、左、右四个方向，最多只能列出四元，高出四元的方程组便无能为力。

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    图33 四元布列

    四元术的核心是四元消法，即将四元四式消成三元三式，再消成二元二式，最后化成一元一式，即高次开方式。朱世杰《四元玉鉴》卷首的“假令细草”中列出了天元术、二元术、三元术和四元术的范例。谨将第3问“三才运元”的消法解释<q></q>如下。

    草曰：立天元一为勾，地元一为股，人元一为弦。三才相配求得今式<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_2.jpg" />，求得云式<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_3.jpg" />，求得三元之式<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_4.jpg" />，以云式剔而消之，二式皆人易天位，前得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_5.jpg" />，后得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_6.jpg" />，互隐通分，相消，左得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_7.jpg" />，右得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_8.jpg" />。(罗士琳细草：以前式左行齐之，得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_9.jpg" />，消前式，得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_10.jpg" />，又以前式消之，得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_11.jpg" />。复以前式左行齐之，得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_12.jpg" />，三因前式，得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_13.jpg" />，消之得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_14.jpg" />为左式。以左行齐前式得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_15.jpg" />；以以前式左行齐左式，得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_16.jpg" />，相消得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_17.jpg" />为右式。内二行得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_18.jpg" />，外二行得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_19.jpg" />，内外相消，四约之，得开方式<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171600_20.jpg" />，三乘方开之，得弦五步。<var>藏书网</var>

    解：设x为勾a，y为股b，z为弦c，由已知条件列出x+y+z-xy(z-y)=0或-xy²+xyz-x-y-z=0(今式)。

    同样

    -x²+x+xz+y-z=0(云式)。

    x²+y²-z²=0(三元式)。

    以云式减今式，以x除，并将y²=z²-x²，y=-x²+x+xz-z代入，便得到前式：x²+x-x²z+xz-z+xz²-2z²-2=0

    将y=-x²+x+xz-z代入三元式，便得到后式：x³-2x²+2x-2x²z+4xz-2z+xz²-2z²=0

    并将人元摆到天元上。互隐通分相消，得到(-z²+3z+7)x+(z³-3z²-7z-6)=0

    为左式，(-2z³+5z+11z+13)x+(2z⁴-5z³-15z²-13z-14)=0

    为右式。

    以前式左行(-z+1)乘后式，(-z+1)x³+(2z³-2)x²+(-z³-3z²+2z+2)x+(2z³-2z)=0

    以x乘前式，得(-z+1)x³+(z²+z+1)x²+(-2z²-z-2)x=0

    两者相消，得(z²-z-3)x²+(-z³-z²+3z+4)x+(2z³-2z)x=0

    又以z乘前式(-z²+z)x²+(z³+z²+z)x+(-2z³-z²-2z)x=0

    与之相消，得-3x²+(4z+4)x+(-z²-4z)=0

    ［以前式左行(-z+1)乘此式，得(3z-3)x²+(-4z²+4)x+(z³+3z²-4z)=0

    以3乘前式，得(-3x+3)x²+(3z²+3z+3)x+(-6z²-3z-6)=0

    两者相消，得(-z²+3x+7)x+(z³-3z²-7z-6)=0为左式。></a>

    以左式x的系数乘前式，得到(z³-4z²-4z+7)x²+(-z⁴+2z³+9z²+10z+7)x+(2z⁴-5z³-15z²-13z-14)=0

    以前式x²的系数(-z+1)及x乘左式，得(z³-4z²-4z+7)x³+(-z⁴+4z³+4z²-z-6)x=0两者相消为右式：(-2z³+5z²+11z+13)x+(2z⁴-5z³-15z²-13z-14)=0］

    内二行相乘得(z³-3z²-7z-6)(-2z³+5z²+11z+13)=-2z⁶+11z⁵+10z⁴-43z³-146z²-157z-78

    外二行相乘得(-z²+3z+7)(2z⁴-5z³-15z²-13z-14)=-2z⁶+11z⁵+14z⁴-67z³-130z²-133z-98

    两者相减应为0

    4z⁴-24z³+16z²+24z-20=0

    z⁴-6z³+4z²+6z-5=0

    z=5

    问题是：“今有股弦较除弦和和与直积等。只云勾弦较除弦较和与勾同，问弦几何？”即已知(a+b+c)÷(c-b)=ab，(-a+b+c)÷(c-a)=a，及勾股定理a²+b²=c²，求c。其解法是：(见第133—135页)

    由于朱世杰的文字过于简括，“互隐通分相消”所引用罗士琳细草，只是提供一个大体说明消元过程的例子。至于是否符合朱氏原意，不得而知。事实上，许多学者有不同的细草。

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