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天元术的基本思想是：首先立所求的量为天元一，根据问题的条件给出两个等价的天元式，使两个天元式相减，便得到一个开方式，即一个方程式。后面这个过程叫做如积相消。而如积释锁则包含了列方程、解方程的完整过程。显然，立某量为天元一相当于今天的设某某为未知数x，天元式相当于今天的含未知数的多项式。如按《测圆海镜》的记法<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171599_1.jpg" />便表示多项式x<sup>4</sup>-332x<sup>3</sup>+27556x<sup>2</sup>。我们以《测圆海镜》卷七第2问为例展示天元术。此题是：<df</dfn>假令有圆城一所，不知周径。或问丙出南门直行一百三十五步而立，甲出东门直行十六步见之。问径几何？又法曰：二行相乘得数，又自之，为三乘方实。并二行步，以乘二行相乘数，又倍之为从。二行相并数以自乘于上，又二行相减数自乘减上位为第一廉。第二廉空。一益隅。益积开之得半径。
如图32，设南行EA为k，东行FB为l，则此即要求解方程-x<sup>4</sup>+4klx<sup>2</sup>+2kl(k+l)+(kl)<sup>2</sup>=0
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图32 测圆
李冶用天元术推导这个四次方程的方法是：
草曰：立天元一为半城径，副置之。上加南行步得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171599_3.jpg" />为股，下位加东行步得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171599_4.jpg" />为勾。勾股相乘得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171599_5.jpg" />为直积一段，以天元除之得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171599_6.jpg" />为弦。以自之，得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171599_7.jpg" />为弦幂，寄左。乃以勾自之，得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171599_8.jpg" />，又以股自之，得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171599_9.jpg" />，二位相并得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171599_10.jpg" />，为同数。与左相消，得<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171599_11.jpg" />。开益积三乘方，得一百二十步，即半城径也。藏书网<dfn>.９９ｌｉｂ.</dfn>
这段文字用现代符号翻译出来就是：设x为圆城半径OC。x+k为股OA，x+l为勾OB。由于AB·OC=OA·OB，即AB·x=(x+k)(x+l)，故弦AB=(x+k)(x+l)/x=［x<sup>2</sup>+(k+l)x+kl］/x=x+(k+l)+klx<sup>-1</sup>，AB<sup>2</sup>=［x+(k+l)+klx<sup>-1</sup>］<sup>2</sup>=x<sup>2</sup>+2(k+l)x+k<sup>2</sup>+l<sup>2</sup>+4kl+2(k+l)klx<sup>-1</sup>+(kl)<sup>2</sup>x<sup>-2</sup>又AB<sup>2</sup>=OA<sup>2</sup>+OB<sup>2</sup>=(x+k)<sup>2</sup>+(x+l)<sup>2</sup>=2x<sup>2</sup>+2(k+l)x+k<sup>2</sup>+l<sup>2</sup>，两者相减，两端乘以x<sup>2</sup>，即得上述开方式。藏书网
由此可见，在李冶时代已完全掌握了天元多项式的加、减、乘法及除数为天元单项式的除法，掌握了指数的乘除法运算及合并同类项等运算。由于天元式的表示采取位置值制，故乘除数为天元幂的乘除法，只要上下移动“元”字或“太”字即可。
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