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等差级数问题在宋元时代发展为高阶等差级数求和问题。这一课题的开创者是北宋大科学家沈括。沈括研究了《九章算术》的刍童等立体体积公式(见第四节)，认为已相当完备，但是，没有求隙积的方法。隙积就是积之有隙者，如将一颗颗棋子、坛、罐等垒起来，如图34，虽然有刍童的形状，但因有刻缺空隙，若用刍童术求积，数值偏小。沈括便提出了隙积术。设隙积的上底宽a<sub>1</sub>，长b<sub>1</sub>，下底宽a<sub>2</sub>，长b<sub>2</sub>，高n层，且a<sub>2</sub>-a<sub>1</sub>-b<sub>2</sub>-b<sub>1</sub>=n-1，沈括提出的隙积术是：S=a<sub>1</sub>b<sub>1</sub>+(a<sub>1</sub>+1)(b<sub>1</sub>+1)+(a<sub>1</sub>+2)(b<sub>1</sub>+2)+…+a<sub>2</sub>b<sub>2</sub>=n〔(2a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>)b<sub>1</sub>+(2a<sub>2</sub>+a<sub>1</sub>)b<sub>2</sub>+(a<sub>2</sub>-a<sub>1</sub>)〕/6<big>.９9liｂ.</big><dfn>99liｂ.</dfn><div class="imgbox ter">//..plate.pic/plate_171602_1.jpg" />
图34 隙积
即刍童状隙积中物件的个数比刍童体积多n/6×(a<sub>2</sub>-a<sub>1</sub>)。隙积术实际上是一个二阶等差级数求和问题：
<table><tr><td>级数</td><td>a<sub>1</sub> b<sub>1</sub>(a<sub>1</sub>+1)(b<sub>1</sub>+1)</td><td>(a<sub>1</sub>+2)(b<sub>1</sub>+2)</td><td>(a<sub>1</sub>+3)(b<sub>1</sub>+3)</td><td>(a<sub>1</sub>+4)(b<sub>1</sub>+4)…</td></tr><tr><td>一阶差</td><td>a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>+1</td><td>a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>+3</td><td>a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>+5</td><td>a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>+7…</td></tr><tr><td>二阶差</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2…</td></tr></table><u></u><bdi>藏书网</bdi>
南宋杨辉《详解九章算法》以各种菓子垛比类《九章》的立体。其中刍童形菓子垛与沈括的隙积术相同。四隅垛(比类方锥、阳马)的求积公式为：S<sub>n</sub>=1<sup>2</sup>+2<sup>2</sup>+3<sup>2</sup>+…+n<sup>2</sup>=n(n+1)(n+½)/3
方垛(比类方亭)的求积公式为：S<sub>n</sub>=a<sup>2</sup>+(a+1)<sup>2</sup>+(a+2)<sup>2</sup>+…+(b-1)<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=n〔a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>+ab+½(b-a)〕/3
三角垛(比类鳖臑)的求积公式为：S<sub>n</sub>=1+3+6+10+…+&fra(n+1)=n(n+1)(n+2)/6
不难看出，这都是二阶等差级数求和问题。同时，可以看出，在沈括的隙积术中令a<sub>1</sub>=b<sub>1</sub>=1，a<sub>2</sub>=b<sub>2</sub>=n，便是杨辉的四隅垛公式；令a<sub>1</sub>=b<sub>1</sub>，a<sub>2</sub>=b<sub>2</sub>，便是杨辉的方垛公式；令a<sub>1</sub>=1，b<sub>1</sub>=2，a<sub>2</sub>=n，b<sub>2</sub>=n+1，便成为两个三角垛之和1·2+2·3+3·4+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3。
两端除以2，便得到杨辉的三角垛公式。
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