第一节 开平方

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    《周髀》载陈子应用勾股定理测望太阳距离时要开平方，但无开方程序。《九章》少广章提出了世界上最早的开平方的完整抽象程序。刘徽认为，开平方的几何意义是已知一正方形面积求其边长。《九章》按四行布算，最上行准备放议得(即根)，下面一行布置被开方数，称为实，第三行是法，最下一行是借一算，与实的个位相齐，这相当于x²=A，如(1)。将借算自右向左隔一位移一步，至不能移为止。根的位数比移的步数多1，实是个位、十位数，借一算根是一位数，实是三位、四位数，借算移一步，根是二位数，依此类推，如(2)。议所得(根的第一位)a₁，以a₁乘借算10²ⁿ得10²ⁿa₁，为法，应使A÷10²ⁿa₁得到a₁后余数小于10²ⁿa₁²。刘徽认为这一步是以a₁乘法10²ⁿa₁减A，即A-10²ⁿa₁²<10²ⁿa₁²，如(3)。其几何意义是从面积为A的正方形中减去以10ⁿa₁为边长的正方形黄甲，如图27。

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    再求第二位得数。撤去借算，将法10²ⁿa₁加倍，为定法，如(4)。刘徽认为其几何意义是与黄甲相连的两朱幂的长10ⁿa₁，此朱幂的宽是第二位得数。将定法向右退一位，为2·10^2n-1a₁，再在下行个位上布置借一算，自右向左隔一位移一步，显然只有n-1步，即10^2n-2。求根的第二位得数相当于求减根方程10^2n-2x₁²+2·10^2n-1a₁x₁=A-²ⁿa₁²的正根，如(5)。议得a₂，以a₂乘借算10^2n-2，加定法，得2·10^2n-1a₁+^2n-2a₂，使得(A-10²ⁿa₁²)&divide;(2·10^2n-1a₁+^2n-2a₂)的商是a₂，而其余数小于(2·10^2n-1a₁+^2n-2a₂)a₂。刘徽认为这一步相当于求出余实(A-10²ⁿa₁²)-(2·10^2n-1a₁+10^2n-1a₂)a₂，如(6)。其几何意义是从正方形余下部分中减去两朱幂及以10^n-1a₂为边长的小正方形黄乙。若余实仍不为零，则继续开方。显然，这种方法对任何自然数的开方都是适用的。《九章》的例题中被开方数有的高达10位，如<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171592_2.jpg" />。如果被开方数是分数，则通分后，分子、分母分别开方，然后相除，如：<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171592_3.jpg" /><dfn></dfn>之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。”《九章算术·少广章注》)刘徽的思想不仅开十进小数之先河，而且是保证我国圆周率计算在世界上领先千余年的先决条件，此是后话。

    《孙子算经》、《张丘建算经》未提出抽象的开方程序，但从题目的开方细草中可以看出，它们在求得根的一位得数后，不再撤去借算，而是保留借算，改称下法，退二位求减根方程。它们还吸取了刘徽的改进。北宋贾宪提出立成释锁法，继承了以往开方法的长处并加以改进，与现今方法无异。

    一次项系数不为零的开方称为带从开方。《九章》勾股章有需开带从平方的例题(见第五节)，而未有开方程序。但是，上述开方程序中从求第二位得数起，便是开带从方。

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