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《九章》商功章提出了许多多面体体积的算法，并在实际中使用了长方体的体积公式V=abh，对此，刘徽把它看成不言自明而未试图证明。<div class="imgbox ter">//..plate.pic/plate_171579_1.jpg" />
图3 堑之出入相补
堤、沟、渠是水利设施，堑、城、垣是建筑或防御工事，其横截面都是相等的梯形。设上、下广是a、b，高(深)h，长l，《九章》提出的体积公式是V=½(a+b)hl。刘徽采用出入相补，将其变成宽½(a+b)，长l，高h 7684." >的长方体证明之(图3)。bbr>.９９lib?</abbr>
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图4 堑堵
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图5 阳马
堑堵是将长方体沿相对两棱剖开所得的立体(图4)，其体积显然为V=½abh。沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，一部分是底面为长方形，一棱垂直于底面的四棱锥，称为阳马(图5)，《九章》给出其体积公式V=(1/3)abh；一部分为四面都是勾股形的四面体，叫鳖臑〔nao闹〕(图6)，其体积V=(1/6)abh。在a=b=h的情况下，人们用六个鳖臑或三个阳马可拚成一个正方体，上述两个公式是显然的，这是棊<span class="" data-note="“棊”是特制的立体模型。"></span>(同“祺”)验法。而当a≠b≠h时，棊验法无能为力，必须用无穷小分割方法才能证明上述公式。这是刘徽的重大贡献，将在第十一节中介绍。?
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图6 鳖臑
方锥的体积与阳马相同(见图7)。今之方台，古代称为方亭。设上方边长a，下方边长b，高h(图8)，《九章》给出的公式是V=(1/3)(a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>+ab)h。刘徽又给出等价的公式V=(1/3)(b-a)<sup>2</sup>h+abh。刍童是草垛，盘池是挖的水池，冥谷是挖的大墓穴，都是上、下底面为长方形的棱台体(图9)。汉代帝王的陵墓都是刍童形。设上底为a<sub>1</sub>×b<sub>1</sub>，下底为a<sub>2</sub>×b<sub>2</sub>，高h，《九章》给出的体积公式是V=(1/6)［(2a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>)b<sub>1</sub>+(2a<sub>2</sub>+a<sub>1</sub>)b<sub>2</sub>］h。刘徽又提出两个等价的公式V=(1/3)(a<sub>2</sub>-a<sub>1</sub>)+(a<sub>2</sub>-a<sub>1</sub>)h+½(a<sub>2</sub>b<sub>1</sub>+a<sub>1</sub>b<sub>2</sub>)h和V=(1/3)［a<sub>1</sub>b<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>b<sub>2</sub>+½(a<sub>2</sub>b<sub>1</sub>+a<sub>1</sub>b<sub>2</sub>)］h。刍甍也是草垛，形状像屋脊(图10)。设底面为a<sub>2</sub>×b<sub>2</sub>，上长b<sub>1</sub>，高h，《九章》给出其体积公式V=(1/6)(2b<sub>2</sub>+b<sub>1</sub>)ha<sub>2</sub>。刘徽又给出等价的公式V=(1/3)(b<sub>2</sub>-b<sub>1</sub>)ha<sub>2</sub>+&frac<sub>1</sub>2;b<sub>2</sub>a<sub>2</sub>h。羡〔音yan，通埏〕除是墓道，它是一种三面为等腰梯形(其中两面互相垂直)而两侧面为三角形的楔形体(图11)。设其三广为a、b、c，高h，长l。>.</a>藏书网
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图7 方锥
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图8 方亭
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图9 刍童
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图10 刍甍
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图11 羡除
《九章》给出其体积公式是V=(1/6)(a+b+c)hl。对这些立体的特殊情形，刘徽之前都用棊验法，而对一般情形，棊验法亦无能为力。刘徽将它们分解成有限个长方体、堑堵、阳马、鳖臑，求其和而证明之。刘徽所补充的上述公式就是由此得出的。
显然，复杂多面体体积的解决都要归结到阳马、鳖臑，正如刘徽所说：“不有鳖臑，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也。”(《九章算术·商功章注》)中国古代的多面体体积理论，由《九章》提出公式，刘徽完成证明，可以说基本完备。祖冲之父子可能将其推进到隋唐数学家看不懂的地步，由于《缀术》失传，其详情不得而知。就现有资料看唐宋无大的突破。唐初王孝通解决土木工程中更复杂的体积计算问题，都是《九章》已经讨论过的多面体或其组合。《九章》的堤上下两底平行，王孝通解决了一种上下底不平行的堤防，如图12，它可以分解成一个堤与一个羡除，那么，其体积就是两者体积之和。金元治河著作《河防通议》给出其体积公式V=(1/6)［(2h<sub>1</sub>+h<sub>2</sub>)(a+b<sub>1</sub>)/2+(2h<sub>2</sub>+h<sub>1</sub>)(a+b<sub>2</sub>)/2］其中a为上底面广，l为长，h<sub>1</sub>、h<sub>2</sub>分别为两头之高，b<sub>1</sub>、b<sub>2</sub>分别为两头下广。
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图12 堤防
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