第一节勾股数组

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勾股定理x2+y2=z2本身就是一个不定问题，显然它有无数组解。满足该定理的有理数组(a，b，c)通常称为勾股数组，西方称为毕达哥拉斯数组。如何表示出勾股数组，是两千多年来数学家们关注的问题。公元前五、六世纪，毕达哥拉斯设一奇数为2a+1=m2，m为正整数，那么a=½(m2-1)、m、a+1=½(m2+1)就是勾股数组；后来柏拉图以2m、m2-1、m2+1为勾股数组公式，欧几里得以√uv、½(u-v)、½(u+v)或mnpq、½mn(p2-q2)、½mn(p2+q2)表示勾股数组，显然这些表达式并未给出全部勾股数组。<tt></tt>

 世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》勾股章“二人同所立”问。问题是：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会。问甲、乙行各几何？”显然甲行c+a，乙行b，而(c+a)：b=m：n=7：3。《九章》先求出南行率即勾率a=½(m2-n2)，东行率即股率b=mn，邪行率即弦率c=½(m2+n2)。然后根据已知南行步数，用今有术求出东行和邪行步数。这里勾、股、弦三率便是勾股数的通解表示式，其为通解的条件是m、n为互素的奇数，《九章》的两个例题都符合此条件。国外被认为最先给出勾股数组通解公式的是希腊的丢番都，其公式a=2mc/(m2+1)，b=ma-c=(m2-1)×c/(m2+1)，是若令m=u/v，c=u2+v2，则可得到与《九章》等价的公式。丢番都大约与刘徽同时，比《九章》晚了三、四百年。.99ｌｉb.

 《九章算术》已知勾股差与弦求勾股的问题后来也发展为勾股差率与弦率的形式：

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 这是勾股数组的通解公式的另一种形式，其条件为p、q为互素奇数，2p2-q2是一个完全平方数。秦九韶曾用该公式成功地解决了遥度圆城的十次方程造术。美国数论专家迪克森(Dick-son)1894年提出了勾股数组的另一种形式：<img class="inner" src="//..plate.pic/plate_171604_2.jpg" />。显 7136." >然，其雏形便是《九章》勾股章已知弦勾差、弦股差求勾、股、弦的公式。<big>?９9liｂ?</big>

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第一节 勾股数组

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