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墨子是伟大的逻辑学家。它一方面借用逻辑研究数学，同时也借用数学研究逻辑。墨子的数学成就包括基本概念和几何学的内容。现举例说明：<h3>(1)整体与部分的关系</h3>
《经上》：“体，分于兼也。”
《经说上》：“体，若二之一，尺之端也。”<span class="" data-note="体，一个整体的部分。兼，众体为兼，分之为体。端，1.发端，初生。2.点，可理解为最基本的，不可分割的，所以端无间(没有间隙)。二之一，是半数的意思。"></span>
经文：兼是全体，体是部分。
经说：体与兼的关系，很像二与一的关系，又很像尺与端的关系。在墨子的数学理论中，尺是几何学的线，端是几何学的点。因此，如果把尺比作兼，端正好比作点。如以二与一相比，二是兼，一是体。即二为一之兼，一兼为二之体。尺为端之鉴，端为尺之体。
<h3>(2)平行线</h3>
《经上》：“平，同高也。”
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图19
《经说上》：“谓台执者也，若兄弟。”<span class="" data-note="经说原缺。谭戒甫据曹耀湘移补于此。台，即抬。抬一重量，两头重量相等。借譬为“平同高”。兄弟，也是比喻负担相等的意思。"></span>
这一条讲两线平行的原理。如果AB与FG平行，EK、CD是两条平行线的垂线，则CD=EK。
<h3>(3)解释径同长</h3>
《经上》：“同长，以相尽也。”
《经说上》：“同，捷与狂之同长也。”<span class="" data-note="(木疌)，误作捷、楗。楗是“门闩之木”。狂，即框，如门框。尽，莫不然，相一致。"></span>
这一条是说，穿过圆心的径线是同长的，犹如门楗与门框同长。图20的直径AB=CD。
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图20
<h3>(4)圆的定义</h3>
《经上》：“圆，一中，同长也。”
《经说上》：“心中，自是往，相若也。”
心中即中心。圆的中心即圆心。“自是往”即自中心往，就是半径之长。“相若”即相等，半径等长。图21说明从O到A、B是等长，即“中，同长也”。《经上》和《经说上》的内容，既是圆的定义，也是作圆的方法，简单、明了、适用。
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图21
<h3>(5)方形(不限于正方形)</h3>
《经上》：“厚，有所大也。”
《经说上》：“厚，惟无所大。”
图22是一个长方体。ABCD是一个平面BF是厚，也是高。有了厚，才有体积，所以说：“厚，有所大也。”。
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图22
如果只讲A、B、C、D，它只有平面，没有厚，因而只有面积，没有体积。所以说：“厚，惟无所大。”《庄子·天下》说：“无厚不可积也”，就是这个道理。
<h3>(6)圆三径一</h3>
《经上》：“直，参也。”
《经说上》：无。
这一条无经说。对它有两种可能的解释：
一是认为墨家关于圆三径一的界说。故“直”前应有圆字。全文应是“圆，直参也”。或与“圆，一中同长也”合成一条。中国古代“参”的用法不同于三，而是三分之一。
二是认为它不是欧几里得原理，这不是用“两点之间最短的路径”，为直线作解释。而是用“三点排列”，视线重合作直线定义……这样的解释，以视线为直线。这不是数学的解释，而是物理的解释。
<h3>(7)圆的作法</h3>
《经上》：“圆，一中同长也。”
《经说上》：“圆，规写交也。”交，原误作攴。<span class="" data-note="规，圆规。一中，中是圆心，凡穿过同一圆心的直径一定等长。写交，用圆规划线，从甲点出发，又交于甲点。"></span>
如图23中，AB、CD都是直径，圆心是O，以O为圆心，就可以做出圆的图形。
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图23
<h3>(8)方形的作法</h3>
《经上》：“方柱隅四讙〔huan欢〕也。”
《经说上》：“方，矩写交也。”<span class="" data-note="柱，方形的四边。隅，方形的四角。讙，直角。矩，画方形的仪器。写交，原误为见攴。"></span><q>?</q>
这个图形(图24)可以用矩画出来。这就是“矩写交也”。但画出的图形不一定是正方形。
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图24
AB、BC、CD、DA是四柱。∠A、∠B、∠C、∠D是直角。此图即是“柱隅四讙”。
<h3>(9)倍数</h3>
《经上》：“倍为二也<bdo></bdo>。”
《经说上》：“倍，二尺与尺，但去一。”<span class="" data-note="一自加为二，就是“倍”。“二尺与尺”即“二尺”与“一尺”。去即减。"></span>
这个命题是说：倍是一的自加。二尺与一尺，只不过是二尺减去一而已。
<h3>(10)点</h3>
《经上》：“端，体之无序而最前者也。”
《经说上》：“端，是无同也。”
端是几何学上的点，是线的顶端，所以说，端是“体之无序而最前者也”。又因它的前方更无其他，它处于最前，所以“是无同也”。它既在“最前”，就不参与排列的顺序，所以说“无序”。端，应理解为最前点。
<h3>(11)中</h3>
《经上》：“有间，中也。”
《经说上》：“有闻，谓夹之者也。”<span class="" data-note="门耳二字误合一为闻。耳是佴的省文，副、贰的意思。夹，左右相持。之，指夹的中间。"></span>
这一条说明有间是有中的，像门框一样，夹着中有二间。
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图25
A、B、C三者各为一间。甲、乙为中，中的两侧是间。甲是中，AB是间，夹着中。
<h3>(12)间</h3>
《经上》：“间，不及旁也。”
《经说上》：“间，谓夹者也。尺前于区穴，而后于端，不夹于端与区穴，及，及非齐之及也。”<span class="" data-note="“及，及非齐之及也”是后人批语，误入正文。“不及旁”，夹者两旁不相交。区穴，解释有四：1.穴为坏字，应为字，区宇即区域。上下四方为宇，区宇在《经说下》“伛宇不可偏举”(《墨子校注》)。2.区六即“零”零是线段的开始。但线段夹于两点之间，所以说“不夹于端与区穴”(《墨子研究论丛》二，第8页)。3.穴是衍文，应删去(《墨经分类译注》)。4.《经说上》“区者虚也”。区穴犹云空穴。“区穴若”即“若这穴”。"></span>
本条是说，间不涉及两旁，间就是离中的夹者，像几何学的线，独立存在，不夹在点和面之内(及，不是齐等之齐)。
<h3>(13)(纟卢)〔lu卢〕</h3>
《经上》：“(纟卢)，间虚也。”
解一：《经说上》：“(纟卢)，间虚也者。两木之间，谓其无木者也。”这里是线缝，是虚的。(纟卢)，无厚之面。间虚，说只有长、广而无厚，是间之虚。
解二：是二间之中的虚线。虚是两木之间，无木的夹缝。
<h3>(14)盈</h3>
《经上》：“盈，莫不有也。”
《经说上》：“盈，无盈无厚。”
盈，器满则盈。故说“莫不有”。尽，器中空。器空则尽，故说“莫不然”。厚，有长、宽、高的立体。莫不有，即长、宽、高俱备。盈，充实弥满，无所不有。“无盈”当于无厚处求之。无厚者至小无内。
<h3>(15)撄</h3>
《经上》：“撄，相得也。”
《经说上》：“撄，尺与尺俱不尽，端与端俱尽，尺与(端)或尽或不尽，坚白之撄相尽，体撄不相尽。”<span class="" data-note="撄，原义是触，扰的意思。这里作为几何学的“相交”。二是联系、黏合。相得，二者相交即为相得。尺，即线。线与线相交仍为线，故云“尺与尺俱不尽”。端，点。点与点相交，交处仍为点，所以说“俱尽”。线与点相交，线不尽而点尽，点不复存。所以说“或尽或不尽”。坚、白，墨家认为坚与白不能分。白中有坚，坚中有白，所以说“坚白之撄相尽”。"></span>
撄，体积的增加。增加后成为新的体积，所以说“体盈不相尽”。尽，即一致。线与线长短不一，故曰“不尽”。点与点没什么不同，故曰“为尽”。至于点与线，因线由点组成，就点而论，它有尽，就线而论，就不尽。
<h3>(16)仳〔pi匹〕</h3>
《经上》：“仳，以有相撄。”
《经说上》：“仳，两有端而后可。”
解一：仳，并，比。几何学的割线。相撄，即相交。一体分割为二，成为两体。它与割线相交，是为相撄。如果两体已经分离，就是不相撄。说“仳，有两端而后可”，是割线的界说。
解二：仳，比的繁文。以，和谓同义。从有两端看，是比较线段的长短。
撄是黏合。比较线段的长短有黏合与不黏合两种。图26甲，A线短，B线长。把A<tt></tt>线放在B线之上，AB即是长出之数。这是黏合。图26乙，用圆规，以DA为半径，在BD线测量，使AD、CD都等于A线长，这时A、B线不黏合。
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图26
解三：《经上》：“似，有以相撄，有不相撄也。”
《经说上》：“似，两有端而后可。”
似，应作仳。有，应作目。似，即几何学的相似形。相似形有相撄不相撄两种。
图27，△AOB、AOC都相似，而又相撄。各边都可叠合。但△ABC与△AOB和△AOC只相似，不相撄，因不能重合。比较相似，必须有两个条件相等，所以说“故两目端而后可”。
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图27
∠A为直角。AB=AC，AO是从A至BC的垂线，O是圆心，AO、OB、OC是半径。
<h3>(17)次</h3>
《经上》：“次，无间而不相撄也。”
《经说上》：“次，无厚而后可。”
解一：次，即几何学所谓相切。撄，即几何学所谓相交。相交，即属割线。二体相切时，其中没有间隔，也不相交。所以说“次，无间而不相撄也”。“无厚而后可”，也是切线。切线与圆相交，只有一个切点。
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图28
CB线是<u>?９9lib?</u>圆的切线，切点是A，A无厚。BC线与圆无间。
解二：《经上》：“次无闻而不撄撄也。”
《经说上》：“次无厚而厚可。”
这里，撄撄当作相撄。
这是哲学解释，而不是几何学解释。要点是：相次无间而不相撄，只有宇宙符合这一条件。宙弥异时，宇弥异所。无所不在，方为无间。宇宙至小无内，至大无外，故以厚拟之。厚与无厚通而为一。
“有厚、无厚”是战国时的一个辩题。《荀子·修身》也说：“有厚无厚之察。”所以有厚无厚联用，不必改。
<h3>(18)儇</h3>
《经上》：“儇、(禾具)、祗。”
《经说上》：“儇、昫、民也。”<span class="" data-note="儇，圆，环。(禾具)是俱。秪是柢，通作氐，本也，今文作胝。"></span>
解一：如29图中，柢是切线与圆相切之点。圆的一周都可作切点，所以说“俱柢”，儇即圆。轮转一周即为一环。
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图29
解二：儇、(禾具)、秪当为环□柢。在《经说》中(禾具)作□，柢作民，当作氐，即柢，本也。氏与本义同。至于环之为物，旋转而专耑，若互相为本，故曰“俱柢”。
墨子及其后学，长于理论，扎根实践，讲求实效。在数学、力学、光学之外，他们对于声学、机械、土木等方面也具有不可磨灭的贡献。比如具有起重作用的桔槔，发射巨箭的连弩车，投掷武器和炭火的转射机，监听敌人动静的罂听，都是当时的重要发明。当前，对于墨子及其后学的实际贡献，还知之不多，有待进一步研究和发掘。<span class="" data-note="附录部分为中国老教授协会会员任继亮先生撰写。"></span>
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